Cálculo Exemplos

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Etapa 2

Combine $2$ e $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{6} + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $6 t^{5}$ e $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Multiplique $t^{3}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $t^{5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Some $5$ e $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ por $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $t^{6} + 3$ por ${(t^{6} + 3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Multiplique $t^{6} + 3$ por ${(t^{6} + 3)}^{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Eleve $t^{6} + 3$ à potência de $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

Etapa 7.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1

Multiplique $t^{3}$ por $t^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.1.1

Mova $t^{6}$ .

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.1.3

Some $6$ e $3$ .

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3

Multiplique $t^{9}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.3.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.3.3

Some $2$ e $9$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.6.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.6.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.7

Multiplique $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Etapa 8.4.1.7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.7.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9

Multiplique $t^{3}$ por $t^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.9.1

Mova $t^{8}$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.9.3

Some $8$ e $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.1.10

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.4.2

Subtraia $12 t^{11}$ de $6 t^{11}$ .

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.5

Fatore $6 t^{5}$ de $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $6 t^{5}$ de $- 6 t^{11}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.5.2

Fatore $6 t^{5}$ de $18 t^{5}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.5.3

Fatore $6 t^{5}$ de $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.6

Fatore $- 1$ de $- t^{6}$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.7

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.8

Fatore $- 1$ de $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.9

Reescreva $- (t^{6} - 3)$ como $- 1 (t^{6} - 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Etapa 8.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$