Cálculo Exemplos

$f (z) = (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 z^{3} - z)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = 9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ e $g (z) = 3 z^{3} - z$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [3 z^{3} - z] + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 z^{3} - z$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $3 z^{3}$ em relação a $z$ é $3 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1 \cdot 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.9

Como $9$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $9 z^{4}$ em relação a $z$ é $9 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.11

Multiplique $4$ por $9$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.12

Como $3$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $3 z^{2}$ em relação a $z$ é $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.14

Multiplique $2$ por $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + \frac{d}{d z} [1])$

Etapa 2.15

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + 0)$

Etapa 2.16

Some $36 z^{3} + 6 z$ e $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $1$ de $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1$ de $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Etapa 3.1.2

Fatore $1$ de $(3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

Etapa 3.2

Multiplique $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ por $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$9 z^{2} (9 z^{4}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \cdot 9 z^{2} z^{4} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $z^{2}$ por $z^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.2.1

Mova $z^{4}$ .

$9 \cdot 9 (z^{4} z^{2}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 \cdot 9 z^{4 + 2} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.2.3

Some $4$ e $2$ .

$9 \cdot 9 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $9$ por $9$ .

$81 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2} z^{2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $z^{2}$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.5.1

Mova $z^{2}$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 (z^{2} z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2 + 2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.5.3

Some $2$ e $2$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.6

Multiplique $9$ por $3$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.7

Multiplique $9$ por $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.8

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.3

Subtraia $9 z^{4}$ de $27 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 9 z^{2} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.4

Subtraia $3 z^{2}$ de $9 z^{2}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.5

Expanda $(36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3} - z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

Etapa 3.4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3} z^{3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.2

Multiplique $z^{3}$ por $z^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.6.1.2.1

Mova $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 (z^{3} z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3 + 3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.3

Multiplique $36$ por $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{3} z + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.5

Multiplique $z^{3}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.6.1.5.1

Mova $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.5.2

Multiplique $z$ por $z^{3}$ .

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Etapa 3.4.6.1.5.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.5.3

Some $1$ e $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.6

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z \cdot z^{3} + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.8

Multiplique $z$ por $z^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.6.1.8.1

Mova $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.8.2

Multiplique $z^{3}$ por $z$ .

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Etapa 3.4.6.1.8.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z^{1}) + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{3 + 1} + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.8.3

Some $3$ e $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{4} + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.9

Multiplique $6$ por $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 z (- z)$

Etapa 3.4.6.1.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z \cdot z$

Etapa 3.4.6.1.11

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.6.1.11.1

Mova $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 (z \cdot z)$

Etapa 3.4.6.1.11.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z^{2}$

Etapa 3.4.6.1.12

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} - 6 z^{2}$

Etapa 3.4.6.2

Some $- 36 z^{4}$ e $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$

Etapa 3.5

Combine os termos opostos em $81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $18 z^{4}$ de $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 0 - 6 z^{2}$

Etapa 3.5.2

Some $81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6}$ e $0$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 6 z^{2}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $6 z^{2}$ de $6 z^{2}$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6} + 0$

Etapa 3.5.4

Some $81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$ e $0$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$

Etapa 3.6

Some $81 z^{6}$ e $108 z^{6}$ .

$189 z^{6} - 1$