Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{6} - 11 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{6}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$f' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 (5 x^{4})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 11$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 55 x^{4}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $42 x^{5} - 55 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (42 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{5}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 42 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $5$ por $42$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 55$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 55 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 55 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 (4 x^{3})$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 55$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 220 x^{3}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $10 x^{3}$ de $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $10 x^{3}$ de $210 x^{4}$ .

$10 x^{3} (21 x) - 220 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $10 x^{3}$ de $- 220 x^{3}$ .

$10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $10 x^{3}$ de $10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22)$ .

$10 x^{3} (21 x - 22) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$21 x - 22 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $21 x - 22$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $21 x - 22$ como igual a $0$ .

$21 x - 22 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $21 x - 22 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $22$ aos dois lados da equação.

$21 x = 22$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $21 x = 22$ por $21$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $21 x = 22$ por $21$ .

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{22}{21}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $10 x^{3} (21 x - 22) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{22}{21}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 7 {(0)}^{6} - 11 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 7 \cdot 0 - 11 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 11 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 11 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 11$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $\frac{22}{21}$ em $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{22}{21}$ na expressão.

$f (\frac{22}{21}) = 7 {(\frac{22}{21})}^{6} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{22^{6}}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $22$ à potência de $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $21$ à potência de $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{85766121}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $7$ de $85766121$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 (12252303)}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 \cdot 12252303}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{22^{5}}{21^{5}}$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $22$ à potência de $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{5153632}{21^{5}}$

Etapa 3.3.2.1.7

Eleve $21$ à potência de $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 (\frac{5153632}{4084101})$

Etapa 3.3.2.1.8

Multiplique $- 11 (\frac{5153632}{4084101})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.1

Combine $- 11$ e $\frac{5153632}{4084101}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 11 \cdot 5153632}{4084101}$

Etapa 3.3.2.1.8.2

Multiplique $- 11$ por $5153632$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 56689952}{4084101}$

Etapa 3.3.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- \frac{56689952}{4084101}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12252303$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $\frac{56689952}{4084101}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{4084101 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $4084101$ por $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{12252303}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 56689952 \cdot 3}{12252303}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $- 56689952$ por $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 170069856}{12252303}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $170069856$ de $113379904$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{- 56689952}{12252303}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{22}{21}) = - \frac{56689952}{12252303}$

Etapa 3.3.2.7

A resposta final é $- \frac{56689952}{12252303}$ .

$- \frac{56689952}{12252303}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{22}{21}$ em $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ é $(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22}{21}) \cup (\frac{22}{21}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 210 {(- 0.1)}^{4} - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.1) = 210 \cdot 0.0001 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $210$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 \cdot - 0.001$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 220$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 + 0.22$

Etapa 5.2.2

Some $0.021$ e $0.22$ .

$f'' (- 0.1) = 0.241$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.241$ .

$0.241$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.241$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{22}{21})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.\overline{523809}$ na expressão.

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 {(0.\overline{523809})}^{4} - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.\overline{523809}$ à potência de $4$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 \cdot 0.07528241 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $210$ por $0.07528241$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $0.\overline{523809}$ à potência de $3$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 \cdot 0.14372098$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 220$ por $0.14372098$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 31.6186157$

Etapa 6.2.2

Subtraia $31.6186157$ de $15.80930785$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = - 15.80930785$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 15.80930785$ .

$- 15.80930785$

Etapa 6.3

Em $0.\overline{523809}$ , a segunda derivada é $- 15.80930785$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \frac{22}{21})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{22}{21})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{22}{21}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.1\overline{476190}$ na expressão.

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 {(1.1\overline{476190})}^{4} - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.1\overline{476190}$ à potência de $4$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 \cdot 1.73456664 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $210$ por $1.73456664$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $1.1\overline{476190}$ à potência de $3$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 \cdot 1.51144811$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 220$ por $1.51144811$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 332.51858546$

Etapa 7.2.2

Subtraia $332.51858546$ de $364.25899589$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 31.74041043$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $31.74041043$ .

$31.74041043$

Etapa 7.3

Em $1.1\overline{476190}$ , a segunda derivada é $31.74041043$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{22}{21}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{22}{21}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ .

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Etapa 9