Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.3

Mova ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.10

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.18

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.23

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.24

Para escrever ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.27

Simplifique ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.29

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 2 x^{2} + 16$ e $g (x) = {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.4.6

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{{(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.10.3

Mova ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.15

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.16

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.16.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.16.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.16.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.16.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.17

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.1

Fatore $2$ de $2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.17.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.17.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.20

Multiplique $- 2 x^{2} + 16$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.2

Multiplique $- 2 x^{2} + 16$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.3

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.3.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (8)) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (8)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.4

Para escrever $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.5

Combine $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7

Reescreva $\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.7.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.7.1.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.1.2

Fatore $2 x$ de $2 (- x^{2} + 8) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.7.2.1

Multiplique ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.7.2.1.1

Mova ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.7.2.2

Simplifique $- 2 {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.8.3

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 32 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.8.4

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 32 + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.1.8.5

Some $- 32$ e $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.2.1

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 16}$

Etapa 1.2.21.2.2

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 16}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Etapa 1.2.21.2.3

Multiplique ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 16$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.2.3.1

Multiplique ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.2.3.1.1

Eleve $- x^{2} + 16$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Etapa 1.2.21.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 1.2.21.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.21.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 1.2.21.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 24) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 24 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} - 24$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} - 24$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 24 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 24 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $24$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 24$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{24}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{24}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \pm \sqrt{4 (6)}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{6}$

Etapa 2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{6}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{6}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 24) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Etapa 2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{16 - {(0)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 - 0}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 + 0}$

Etapa 3.1.2.3

Some $16$ e $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Etapa 3.1.2.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Etapa 3.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Etapa 3.1.2.6

Multiplique $0$ por $4$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 0.2$ por ${(- 0.1)}^{2} - 24$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 0.01$ e $16$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva $15.99$ como ${3.9987498}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 5.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 5.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Etapa 5.2.2.6

Eleve $3.9987498$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{63.94000937}$

Etapa 5.2.3

Divida $4.798$ por $63.94000937$ .

$f'' (- 0.1) = 0.07503908$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $0.07503908$ .

$0.07503908$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.07503908$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 24)}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $0.2$ por ${0.1}^{2} - 24$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 0.01$ e $16$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva $15.99$ como ${3.9987498}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Etapa 6.2.2.6

Eleve $3.9987498$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{63.94000937}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 4.798$ por $63.94000937$ .

$f'' (0.1) = - 0.07503908$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.07503908$ .

$- 0.07503908$

Etapa 6.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.07503908$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 8