Cálculo Exemplos

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

Etapa 1

Resolva $y$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ .

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1

Subtraia $45$ dos dois lados da equação.

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

Etapa 1.2.2

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

Etapa 1.2.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $5 y + \frac{x y}{10}$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $5 y$ .

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Etapa 1.3.2

Fatore $y$ de $\frac{x y}{10}$ .

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Etapa 1.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ .

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Etapa 1.4

Divida cada termo em $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ por $5 + \frac{x}{10}$ e simplifique.

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Etapa 1.4.1

Divida cada termo em $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ por $5 + \frac{x}{10}$ .

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $5 + \frac{x}{10}$ .

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Etapa 1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $10$ .

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Etapa 1.4.3.2.1

Multiplique $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ por $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.3.2.2

Combine.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

Etapa 1.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.3.4

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 1.4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Etapa 1.4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.3.5.1

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.5.2

Multiplique $10$ por $- 45$ .

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.5.3

Fatore $10$ de $- 20 x - 450$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.5.3.1

Fatore $10$ de $- 20 x$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.5.3.2

Fatore $10$ de $- 450$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.5.3.3

Fatore $10$ de $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Etapa 1.4.3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.4.3.6.1

Multiplique $10$ por $5$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

Etapa 1.4.3.6.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

Etapa 1.4.3.6.3

Reescreva $- 45$ como $- 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

Etapa 1.4.3.6.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

Etapa 1.4.3.6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.3.6.5.1

Reescreva $- (2 x + 45)$ como $- 1 (2 x + 45)$ .

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

Etapa 1.4.3.6.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 45$ e $g (x) = 50 + x$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 45$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $50 + x$ .

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $50 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.11

Combine frações.

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Etapa 2.1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.11.2

Combine $- 10$ e $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.11.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.4.1.1

Multiplique $10 (2 \cdot 50)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.4.1.1.1

Multiplique $2$ por $50$ .

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.1.2

Multiplique $10$ por $100$ .

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.5

Multiplique $10 (- 1 \cdot 45)$ .

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Etapa 2.1.4.4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.1.5.2

Multiplique $10$ por $- 45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.2

Combine os termos opostos em $1000 + 20 x - 20 x - 450$ .

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Etapa 2.1.4.4.2.1

Subtraia $20 x$ de $20 x$ .

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.2.2

Some $1000$ e $0$ .

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4.3

Subtraia $450$ de $1000$ .

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$550 = 0$

Etapa 3.3

Como $550 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(50 + x)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $50 + x$ como igual a $0$ .

$50 + x = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $50$ dos dois lados da equação.

$x = - 50$

Etapa 5

Avalie $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 5.1

Avalie em $x = - 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua $- 50$ por $x$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Etapa 5.1.2

Simplifique.

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Etapa 5.1.2.1

Remova os parênteses.

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Etapa 5.1.2.2

Subtraia $50$ de $50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

Etapa 5.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 6

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado