Cálculo Exemplos

$y = \frac{6 x}{x^{2} + 36}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 36})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 36$ por $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 6 (\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine $6$ e $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2}) + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Multiplique $6$ por $36$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 6 x^{2} + 216 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $216$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{2} = - 216$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 216$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 216$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 216}{- 6}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida $- 216$ por $- 6$ .

$x^{2} = 36$

Etapa 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 6$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6, - 6$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{6 (6)}{{(6)}^{2} + 36}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{36}{6^{2} + 36}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{36}{36 + 36}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $36$ e $36$ .

$\frac{36}{72}$

Etapa 4.1.2.3

Cancele o fator comum de $36$ e $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Fatore $36$ de $36$ .

$\frac{36 (1)}{72}$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Fatore $36$ de $72$ .

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 6$ por $x$ .

$\frac{6 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 36}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$\frac{- 36}{{(- 6)}^{2} + 36}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{- 36}{36 + 36}$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $36$ e $36$ .

$\frac{- 36}{72}$

Etapa 4.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 36$ e $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1.1

Fatore $36$ de $- 36$ .

$\frac{36 (- 1)}{72}$

Etapa 4.2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1.2.1

Fatore $36$ de $72$ .

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(6, \frac{1}{2}), (- 6, - \frac{1}{2})$

Etapa 5