Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$3 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $75 x$ em relação a $x$ é $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $75$ por $1$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 30 x + 75$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 30 x + 75$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 30 x + 75$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 30 x + 75 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 30 x + 75$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 30 x + 75 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 10 x) + 75 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $75$ .

$3 x^{2} + 3 (- 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 10 x)$ .

$3 (x^{2} - 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$3 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$3 {(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 {(x - 5)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 {(x - 5)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

${(5)}^{3} - 15 {(5)}^{2} + 75 (5) - 2$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 - 15 {(5)}^{2} + 75 (5) - 2$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 (5) - 2$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 15$ por $25$ .

$125 - 375 + 75 (5) - 2$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $75$ por $5$ .

$125 - 375 + 375 - 2$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $375$ de $125$ .

$- 250 + 375 - 2$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 250$ e $375$ .

$125 - 2$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $2$ de $125$ .

$123$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(5, 123)$

Etapa 5