Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{x}$ para o numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 8$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 8$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $8$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{8}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x^{2} - 8 \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 - 8 \ln (2)$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique $- 8 \ln (2)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$4 - \ln (2^{8})$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $2$ à potência de $8$ .

$4 - \ln (256)$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

Etapa 4.3.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(2, 4 - \ln (256))$

Etapa 5