Cálculo Exemplos

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 5 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7.4

Combine $\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13.2

Combine $\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Etapa 1.1.15

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.1.16

Para escrever ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.17

Combine ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.19

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.19.1

Mova ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.19.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.19.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.20

Simplifique ${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.21

Mova $3$ para a esquerda de $5 - x$ .

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.2.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.2.2

Subtraia $3 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.3

Fatore $5$ de $- 5 x + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.3.1

Fatore $5$ de $- 5 x$ .

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.3.2

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.3.3

Fatore $5$ de $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.7

Reescreva $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.22.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $5 (x - 3) = 0$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $5 (x - 3) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $x - 3$ por $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{5}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (5 - x) = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.6.1

Multiplique $27$ por $5$ .

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$135 - 27 x = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$135 - 27 x = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Subtraia $135$ dos dois lados da equação.

$- 27 x = - 135$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $- 27 x = - 135$ por $- 27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 27 x = - 135$ por $- 27$ .

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 135}{- 27}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $- 135$ por $- 27$ .

$x = 5$

Etapa 4

Avalie $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$5 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

Etapa 5