Cálculo Exemplos

$x + \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.7.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.2

Combine frações.

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Etapa 2.7.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 2.7.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x + \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$(\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{5 π}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{5 π}{2}$ por $x$ .

$(\frac{5 π}{2}) + \cos (\frac{5 π}{2})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{5 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.2.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{5 π}{2} + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $\frac{5 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{2}$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{9 π}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{9 π}{2}$ por $x$ .

$(\frac{9 π}{2}) + \cos (\frac{9 π}{2})$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.3.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{9 π}{2} + 0$

Etapa 4.3.2.2

Some $\frac{9 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{9 π}{2}$

Etapa 4.4

Avalie em $x = \frac{13 π}{2}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua $\frac{13 π}{2}$ por $x$ .

$(\frac{13 π}{2}) + \cos (\frac{13 π}{2})$

Etapa 4.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{13 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.4.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{13 π}{2} + 0$

Etapa 4.4.2.2

Some $\frac{13 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{13 π}{2}$

Etapa 4.5

Avalie em $x = \frac{17 π}{2}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua $\frac{17 π}{2}$ por $x$ .

$(\frac{17 π}{2}) + \cos (\frac{17 π}{2})$

Etapa 4.5.2

Simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{17 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.5.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{17 π}{2} + 0$

Etapa 4.5.2.2

Some $\frac{17 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{17 π}{2}$

Etapa 4.6

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2}), (\frac{5 π}{2}, \frac{5 π}{2}), (\frac{9 π}{2}, \frac{9 π}{2}), (\frac{13 π}{2}, \frac{13 π}{2}), (\frac{17 π}{2}, \frac{17 π}{2})$

Etapa 5