Cálculo Exemplos

$x + 2 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - 2 \sin (x)$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - 2 \sin (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 2.7.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x + 2 \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{13 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{13 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{13 π}{6}) + 2 \cos (\frac{13 π}{6})$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 4.2.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{13 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{25 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{25 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{25 π}{6}) + 2 \cos (\frac{25 π}{6})$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 4.3.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{25 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 4.4

Avalie em $x = \frac{37 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua $\frac{37 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{37 π}{6}) + 2 \cos (\frac{37 π}{6})$

Etapa 4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 4.4.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{37 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 4.5

Avalie em $x = \frac{49 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua $\frac{49 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{49 π}{6}) + 2 \cos (\frac{49 π}{6})$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 4.5.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{49 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 4.6

Avalie em $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Substitua $\frac{5 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 4.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.6.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 4.7

Avalie em $x = \frac{17 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Substitua $\frac{17 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{17 π}{6}) + 2 \cos (\frac{17 π}{6})$

Etapa 4.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 4.7.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.7.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{17 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 4.8

Avalie em $x = \frac{29 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Substitua $\frac{29 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{29 π}{6}) + 2 \cos (\frac{29 π}{6})$

Etapa 4.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 4.8.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.8.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.8.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{29 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 4.9

Avalie em $x = \frac{41 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Substitua $\frac{41 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{41 π}{6}) + 2 \cos (\frac{41 π}{6})$

Etapa 4.9.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 4.9.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.9.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{41 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 4.10

Avalie em $x = \frac{53 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Substitua $\frac{53 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{53 π}{6}) + 2 \cos (\frac{53 π}{6})$

Etapa 4.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 4.10.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.10.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.10.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.10.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.10.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{53 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 4.11

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{25 π}{6}, \frac{25 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{37 π}{6}, \frac{37 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{49 π}{6}, \frac{49 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{17 π}{6}, \frac{17 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{29 π}{6}, \frac{29 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{41 π}{6}, \frac{41 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{53 π}{6}, \frac{53 π}{6} - \sqrt{3})$

Etapa 5