Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 5 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{\frac{1}{5}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Etapa 1.1.2.8

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$1 - 5 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Etapa 1.1.2.9

Combine $- 5$ e $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$1 + \frac{- 5 x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Etapa 1.1.2.10

Mova $x^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 5}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.1.2.11

Fatore $5$ de $- 5$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.1.2.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.1

Fatore $5$ de $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Etapa 1.1.2.12.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.1.2.12.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.1.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{4}{5}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ por $x^{\frac{4}{5}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ por $x^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{4}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ .

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{4}{5}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{\frac{4}{5}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{4}{5}}$ por $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = 1$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{4}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm 1$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 - \frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{4} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) - 5 {(1)}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 - 5$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$(- 1) - 5 {(- 1)}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$- 1 - 5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{1}$

Etapa 4.2.2.1.4

Avalie o expoente.

$- 1 - 5 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 1 + 5$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 1$ e $5$ .

$4$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) - 5 {(0)}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$0 - 5 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 4.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$0 - 5 \cdot 0^{1}$

Etapa 4.3.2.1.4

Avalie o expoente.

$0 - 5 \cdot 0$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.3.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(1, - 4), (- 1, 4), (0, 0)$

Etapa 5