Cálculo Exemplos

$y = 2 x - \tan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 2.7

Resolva $x$ em $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 2.7.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.7.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 2.8.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 2.8.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 2.8.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Avalie $2 x - \tan (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.2.2.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Etapa 4.2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{5 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 4.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.3.2.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Etapa 4.4

Avalie em $x = \frac{7 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.4.2.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.4.2.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Etapa 4.4.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Etapa 4.5

Avalie em $x = \frac{9 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua $\frac{9 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Etapa 4.5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Etapa 4.5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5.2.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 4.5.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Etapa 4.6

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Etapa 5