Cálculo Exemplos

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(6 - 2 x)}^{2}$ como $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Etapa 1.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Etapa 1.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 - 24 x + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.2

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.4

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.6

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $2$ por $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Etapa 1.1.5.11

Multiplique $36 - 24 x + 4 x^{2}$ por $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.2.1

Mova $- 24$ para a esquerda de $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.6

Subtraia $24 x$ de $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.6.2.7

Some $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Etapa 1.1.6.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $12$ de $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $12$ de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x {(6 - 2 x)}^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ por $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $2$ de $6$ .

$4^{2}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(3, 0), (1, 16)$

Etapa 5