Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x + 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $\frac{1}{x + 3}$ e $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $\frac{x}{x + 3}$ por $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $\ln (x + 3)$ por $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Etapa 1.1.4

Para escrever $\ln (x + 3)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.1.1.2

Multiplique $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

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Etapa 1.1.6.1.1.2.1

Reordene $\ln (x + 3)$ e $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.1.1.2.2

Simplifique $3 \cdot \ln (x + 3)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.1.2

Reordene os fatores em $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.14544928$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.3

Defina o argumento em $\ln (x + 3)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 \leq 0$

Etapa 3.4

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \leq - 3$

Etapa 3.5

Defina o argumento em $\ln ({(x + 3)}^{3})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Etapa 3.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.6.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.6.2

Simplifique a equação.

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Etapa 3.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.6.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.6.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x + 3 \leq 0$

Etapa 3.6.3

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \leq - 3$

Etapa 3.7

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Etapa 4

Avalie $x \ln (x + 3)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1.14544928$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1.14544928$ por $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Some $- 1.14544928$ e $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ movendo $1.14544928$ para dentro do logaritmo.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $1.85455071$ à potência de $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 3$ e $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Etapa 4.2.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Etapa 5