Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 3 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $3 x^{2} + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 3$ .

$3 x^{2} + 3$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 3$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 3$ por $3$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.5

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 3$

Etapa 5.2.2

Some $3$ e $3$ .

$f' (1) = 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ é $6$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $3 x^{2} + 3 > 0$

Etapa 7

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

Sempre crescente

Etapa 8