Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.11.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 4$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 4$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $4$ .

$x = - 1$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 < 0$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x < - 1$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \sqrt{x + 1}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.3

Avalie o expoente.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

Etapa 6.2.2

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{2 i}$ pelo conjugado de $2 i$ para tornar o denominador real.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Etapa 6.2.3

Multiplique.

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Etapa 6.2.3.1

Combine.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $i$ por $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.3.3.1

Adicione parênteses.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.3.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.3.3.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

Etapa 6.2.3.3.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

Etapa 6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{i}{2}$ .

$- \frac{i}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{i}{2}$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(- \infty, - 1)$ .

A função não é real em $(- \infty, - 1)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $\frac{1}{2}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, \infty)$

Etapa 9