Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Etapa 1.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Fatore $x {(x + 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Fatore $x {(x + 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Etapa 1.1.4.1.2

Fatore $x {(x + 3)}^{2}$ de $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.1.3

Fatore $x {(x + 3)}^{2}$ de $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.3

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.4

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.5.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.5.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.5.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.7

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.7.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.7.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.7.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.7.1.2

Some $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.7.3

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.8.1

Mova $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.4.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Etapa 1.1.4.9.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Etapa 1.1.4.10

Some $3 x$ e $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Etapa 1.1.4.11

Expanda $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.12.2.1

Mova $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 1.1.4.12.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.2.3

Some $1$ e $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.3

Mova $6$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.12.5.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.12.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.5.3

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.6

Multiplique $6$ por $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.7

Multiplique $6$ por $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.12.9.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.10

Multiplique $9$ por $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Etapa 1.1.4.12.11

Multiplique $6$ por $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Etapa 1.1.4.13

Some $6 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Etapa 1.1.4.14

Some $36 x^{2}$ e $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $x$ de $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $x$ de $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $x$ de $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $x$ de $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $x$ de $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Etapa 2.2.2.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.3

Multiplique $5$ por $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.5

Multiplique $36$ por $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.6

Some $- 135$ e $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Etapa 2.2.2.3.7

Multiplique $81$ por $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Etapa 2.2.2.3.8

Subtraia $243$ de $189$ .

$- 54 + 54$

Etapa 2.2.2.3.9

Some $- 54$ e $54$ .

$0$

Etapa 2.2.2.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Etapa 2.2.2.5

Divida $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ por $x + 3$ .

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Etapa 2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Etapa 2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Etapa 2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $21 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Etapa 2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Etapa 2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $21 x^{2} + 63 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Etapa 2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Etapa 2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Etapa 2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Etapa 2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Etapa 2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $18 x + 54$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Etapa 2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Etapa 2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Etapa 2.2.2.6

Escreva $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ como um conjunto de fatores.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ e cuja soma é $b = 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.1.1

Fatore $21$ de $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.1.2

Reescreva $21$ como $6$ mais $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Etapa 2.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Etapa 2.2.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Etapa 2.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Etapa 2.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

Defina $5 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $5 x + 6$ como igual a $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $5 x + 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 6$

Etapa 2.6.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 2.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Etapa 2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6}{5}$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $5$ por $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $36$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $81$ por $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique $54$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $2304$ de $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 1024$ e $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Etapa 5.2.2.3

Subtraia $216$ de $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $56$ .

$56$

Etapa 5.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $56$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3, - \frac{6}{5})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $5$ por $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 2.1$ à potência de $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $36$ por $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $81$ por $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $54$ por $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $333.396$ de $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 236.1555$ e $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $113.4$ de $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $7.6545$ .

$7.6545$

Etapa 6.3

Em $x = - 2.1$ , a derivada é $7.6545$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Acréscimo em $(- 3, - \frac{6}{5})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1.2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.6$ na expressão.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.6$ à potência de $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $5$ por $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 0.6$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $36$ por $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $- 0.6$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $81$ por $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $54$ por $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $7.776$ de $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 7.128$ e $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $32.4$ de $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 10.368$ .

$- 10.368$

Etapa 7.3

Em $x = - 0.6$ , a derivada é $- 10.368$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1.2, 0)$ .

Decréscimo em $(- \frac{6}{5}, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $36$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $81$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Etapa 8.2.1.7

Multiplique $54$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $5$ e $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Etapa 8.2.2.2

Some $41$ e $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Etapa 8.2.2.3

Some $122$ e $54$ .

$f' (1) = 176$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $176$ .

$176$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $176$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Etapa 10