Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{3}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Some $3$ e $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x^{4} = - 2$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $2 x^{4} = - 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{4} = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$x^{4} = - 1$

Etapa 2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 2.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 2.4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 2.4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 2.5

Exclua as soluções que não tornam $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.2.1.3

Divida $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Etapa 7.2.1.3

Divida $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Etapa 7.2.2

Some $2$ e $2$ .

$f' (1) = 4$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $4$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 9