Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7 x - 7$ e $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [7 x - 7] - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(x + 7) (7 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 7) (7 + 0) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 7 - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Mova $7$ para a esquerda de $x + 7$ .

$\frac{7 \cdot (x + 7) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{7 x + 49 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $7 x + 49 - 7 x + 7$ .

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Etapa 1.1.3.3.2.1

Subtraia $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 + 49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2.2

Some $0$ e $49$ .

$\frac{49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Some $49$ e $7$ .

$f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$56 = 0$

Etapa 2.3

Como $56 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 7)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ .

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f' (- 8) = \frac{56}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 8$ e $7$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{1}$

Etapa 6.2.2

Divida $56$ por $1$ .

$f' (- 8) = 56$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $56$ .

$56$

Etapa 6.3

Em $x = - 8$ , a derivada é $56$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 7)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 7)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 7, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = \frac{56}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 6$ e $7$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 6) = \frac{56}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $56$ por $1$ .

$f' (- 6) = 56$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $56$ .

$56$

Etapa 7.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $56$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 7, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 7, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$

Etapa 9