Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 5}$ como ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

Etapa 1.1.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Etapa 1.1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Etapa 1.1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.4

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.1.2

Some $1$ e $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $1$ e $5$ .

$f' (1) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 8