Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Subtraia $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 12 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.2

Fatore $x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} - 12$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 12$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.4641016$ na expressão.

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $12$ de $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 4.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 4.4641016$ e $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 2.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 6.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $19.92820309$ por $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $6.07179669$ por $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Etapa 6.2.3.3

Divida $157.99484145$ por $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.62274369$ .

$0.62274369$

Etapa 6.3

Em $x = - 4.4641016$ , a derivada é $0.62274369$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3.4641016, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.7320508$ na expressão.

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $12$ de $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 2.7320508$ e $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $- 0.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $- 4.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $7.46410157$ por $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $0.53589837$ por $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Etapa 7.2.3.3

Divida $- 33.85640658$ por $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Etapa 7.3

Em $x = - 2.7320508$ , a derivada é $- 2.82136728$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3.4641016, - 2)$ .

Decréscimo em $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $12$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

Etapa 8.2.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{11}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Subtraia $12$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

Etapa 9.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Etapa 9.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- \frac{11}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(2, 2 \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $2.7320508$ na expressão.

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Eleve $2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2

Subtraia $12$ de $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 10.2.1.3

Eleve $2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Some $2.7320508$ e $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $2$ de $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

Etapa 10.2.2.3

Eleve $4.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

Etapa 10.2.2.4

Eleve $0.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Etapa 10.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Multiplique $7.46410157$ por $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $22.39230477$ por $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Etapa 10.2.3.3

Divida $- 33.85640658$ por $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Etapa 10.3

Em $x = 2.7320508$ , a derivada é $- 2.82136728$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(2, 2 \sqrt{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 11

Substitua um valor do intervalo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4.4641016$ na expressão.

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $4.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Subtraia $12$ de $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $4.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $4.4641016$ e $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $2$ de $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $6.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

Etapa 11.2.2.4

Eleve $2.4641016$ à potência de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $19.92820309$ por $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $41.78460949$ por $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Etapa 11.2.3.3

Divida $157.99484145$ por $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $0.62274369$ .

$0.62274369$

Etapa 11.3

Em $x = 4.4641016$ , a derivada é $0.62274369$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(2 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 12

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

Etapa 13