Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 9$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Some $2 \cdot - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Some $- 8 x$ e $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$10 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $10 x = 0$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $10 x = 0$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $10$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $10$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $25$ por $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 30$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $5$ de $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $- \frac{6}{5}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

Etapa 7.2.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{10}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{10}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, 2)$ .

Acréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $3$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Multiplique $25$ por $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

Etapa 9.2.3.2

Cancele o fator comum de $30$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $5$ de $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Etapa 9.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Etapa 9.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Etapa 9.3

Em $x = 3$ , a derivada é $\frac{6}{5}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, 2), (2, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Etapa 11