Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 80$ e $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 80$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 80$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 80$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Fatore $x^{2} - 18 x + 80$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $80$ e cuja soma é $- 18$ .

$- 10, - 8$

Etapa 1.1.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 10) (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, 8$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $10, 8$ .

$10, 8$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $10$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $8$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $9$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 6.3

Em $x = 7$ , a derivada é $\frac{3}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 8)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 8)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(8, 9)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{17}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Para escrever $- 10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Combine $- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.4.1

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4.2

Subtraia $20$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.9.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.9.2

Subtraia $16$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4.2

Subtraia $18$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.6

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 7.2.2.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Etapa 7.2.2.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Etapa 7.2.2.11

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Etapa 7.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{17}{2}$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(8, 9)$ .

Decréscimo em $(8, 9)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(9, 10)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{19}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Para escrever $- 10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Combine $- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.4.1

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4.2

Subtraia $20$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.9.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9.2

Subtraia $16$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.10.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4.2

Subtraia $18$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Etapa 8.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Etapa 8.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Etapa 8.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{19}{2}$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(9, 10)$ .

Decréscimo em $(9, 10)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(10, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $11$ na expressão.

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1.1

Subtraia $10$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $11 - 8$ por $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Subtraia $8$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Subtraia $9$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 9.3

Em $x = 11$ , a derivada é $\frac{3}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(10, \infty)$ .

Acréscimo em $(10, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Decréscimo em: $(8, 9), (9, 10)$

Etapa 11