Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

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Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (x - 1) = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.6

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$27 x - 27 = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x - 27 = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$27 x = 27$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $27 x = 27$ por $27$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $27 x = 27$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{27}{27}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $27$ por $27$ .

$x = 1$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 6.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Etapa 6.2.1.5

Avalie o expoente.

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Etapa 6.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- \frac{2}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (2) = \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{2}{3}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 1)$

Etapa 9