Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x + 6$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2)}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 6 - x + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x + 6 - x - - 2$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Some $0$ e $6$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Some $6$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$ .

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f' (- 7) = \frac{8}{{((- 7) + 6)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 7$ e $6$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{1}$

Etapa 6.2.2

Divida $8$ por $1$ .

$f' (- 7) = 8$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 6.3

Em $x = - 7$ , a derivada é $8$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 6)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = \frac{8}{{((- 5) + 6)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 5$ e $6$ .

$f' (- 5) = \frac{8}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 5) = \frac{8}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $8$ por $1$ .

$f' (- 5) = 8$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 7.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $8$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 6, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 6, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 6), (- 6, \infty)$

Etapa 9