Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.1.5.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.5.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.4

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.4.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $\frac{6}{25}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $\frac{2}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, 0)$ .

Acréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- \frac{2}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Etapa 9.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- \frac{6}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, \infty)$ .

Decréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Decréscimo em: $(0, 2), (2, \infty)$

Etapa 11