Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $1 + x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Combine os termos opostos em $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2.2

Some $2 x + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Some $2 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.4

Aplique a regra do produto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(1 + x)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina ${(1 + x)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(1 + x)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.2.3

Defina ${(1 - x)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(1 - x)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(1 - x)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.3.2.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.3.2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.3.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Remova os parênteses.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{8}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.5

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Etapa 7.2.3.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.8

Some $2$ e $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.3.9

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.3.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.3.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.3.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Etapa 7.2.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Divida $- 4$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Etapa 7.2.4.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Etapa 7.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $- 2 (\frac{16}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Combine $- 2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Etapa 7.2.6.2

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Etapa 7.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Etapa 7.2.8

A resposta final é $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{32}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 0)$ .

Decréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine frações.

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Etapa 8.2.1.1

Remova os parênteses.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.7

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 8.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.2.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2 (\frac{16}{9})$ .

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Etapa 8.2.5.1

Combine $2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Etapa 8.2.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $\frac{32}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, 1)$ .

Acréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1.1

Remova os parênteses.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Etapa 9.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{8}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, 1), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Etapa 11