Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ como ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.1.3.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.1.3.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Combine $4$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.5.2

Reordene os fatores de $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 4.2.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.2

Aplique a regra do produto a $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.2.4

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Etapa 6.2.1.3

Some $4$ e $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Etapa 6.2.1.4

Subtraia $3$ de $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 6 (\frac{4}{25})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Combine $- 6$ e $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Etapa 6.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{24}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.3

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Etapa 7.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- \frac{8}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Etapa 8.2.1.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Etapa 8.2.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Etapa 8.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Etapa 8.2.3

Multiplique $2 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{8}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, 3)$ .

Acréscimo em $(1, 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Etapa 9.2.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Etapa 9.2.1.4

Subtraia $3$ de $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Etapa 9.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Etapa 9.2.3

Multiplique $6 (\frac{4}{25})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Combine $6$ e $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Etapa 9.3

Em $x = 4$ , a derivada é $\frac{24}{25}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, 3), (3, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Etapa 11