Cálculo Exemplos

$f (x) = 3^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Etapa 1.1.2.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Etapa 1.1.2.3.3

Reescreva $- 1 \cdot 3^{- x}$ como $- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = 3^{- x}$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

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Etapa 5.2.3.1

Reordene $\ln (3)$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Etapa 6

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ é $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , que é negativo, então o gráfico diminui no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \infty)$

Etapa 7

Decréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre decrescente.

Sempre decrescente

Etapa 8