Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x^{2} - 36$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Some $72$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = 72$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 72$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 72$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida $72$ por $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Etapa 2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Etapa 2.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Etapa 2.3.4.4

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Etapa 2.3.4.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 6$

Etapa 2.3.4.6

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6 i$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6 i$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6 i, - 6 i$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x + 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 4.2.4

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2

Resolva ${(x - 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.2.4.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 6, 6$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $72$ de $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $36$ de $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Etapa 6.3

Em $x = - 7$ , a derivada é $- \frac{170}{169}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 6)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $72$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 72$ e $1296$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Fatore $72$ de $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.2.1

Fatore $72$ de $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Etapa 7.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Etapa 7.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- \frac{1}{18}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 6, 6)$ .

Decréscimo em $(- 6, 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Subtraia $72$ de $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $36$ de $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Etapa 8.3

Em $x = 7$ , a derivada é $- \frac{170}{169}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(6, \infty)$ .

Decréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Etapa 10