Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Subtraia $12$ de $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 3$ de $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 3$ de $- 12$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2$ .

$2$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 3$ e $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 5.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $12$ por $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Some $- 27$ e $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$f' (3) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, \infty)$ .

Decréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Etapa 8