Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 32$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $12 x^{2} = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 12 x^{2}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 4 x^{3} - 32$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (- 1) = 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $12$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 12 \cdot 1$

Etapa 6.2.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $12$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 8