Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $15 u$ de $15 u^{2} - 15 u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $15 u$ de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore $15 u$ de $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $15$ por $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Etapa 5.2.2

Subtraia $60$ de $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $180$ .

$180$

Etapa 5.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $180$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $15$ e $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Etapa 6.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 6.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Etapa 6.2.1.12

Combine $- 15$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Etapa 6.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- \frac{15}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{15}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $60$ de $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Etapa 6.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{45}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 0)$ .

Decréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Combine $15$ e $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Etapa 7.2.1.8

Combine $- 15$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Etapa 7.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{15}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{15}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Etapa 7.2.5.2

Subtraia $60$ de $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{45}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $15$ por $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Etapa 8.2.2

Subtraia $60$ de $240$ .

$f' (2) = 180$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $180$ .

$180$

Etapa 8.3

Em $x = 2$ , a derivada é $180$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- 1, 0), (0, 1)$

Etapa 10