Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Etapa 1.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Etapa 1.1.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.1.12.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.4

Combine $4$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.5

Fatore $2$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.6.4

Divida $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.7

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.8

Cancele o fator comum.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.9

Reescreva a expressão.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.10

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.13.3.11

Some $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique $6 x^{1}$ .

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 4 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 4$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $6 x = - 4$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $6 x = - 4$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Exclua as soluções que não tornam $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 4.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 4.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{4}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 4.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.4.2

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{4}{i}$ pelo conjugado de $i$ para tornar o denominador real.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Combine.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.2.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.6.2.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.1.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

Etapa 6.2.1.6.2.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

Etapa 6.2.1.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

Etapa 6.2.1.8

Reescreva $- 1 \cdot (4 i)$ como $- (4 i)$ .

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4 i$ de $6 i$ .

$f' (- 1) = 2 i$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2 i$ .

$2 i$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $2 i$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(- \infty, 0)$ .

A função não é real em $(- \infty, 0)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

Etapa 7.2.1.4

Divida $4$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + 4$

Etapa 7.2.2

Some $6$ e $4$ .

$f' (1) = 10$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $10$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Etapa 9