Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 60 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 9 x^{2} - 60 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 18 x - 60$ .

$6 x^{2} - 18 x - 60$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 18 x - 60 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 18 x - 60 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 18 x - 60$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x - 60 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) - 60 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 60$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 10$ .

$6 (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 5) (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 5) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $5, - 2$ .

$5, - 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} - 18 \cdot - 3 - 60$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 - 18 \cdot - 3 - 60$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $9$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 \cdot - 3 - 60$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 + 54 - 60$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Some $54$ e $54$ .

$f' (- 3) = 108 - 60$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $60$ de $108$ .

$f' (- 3) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 {(\frac{3}{2})}^{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 9) (\frac{3}{2}) - 60$

Etapa 6.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2})) - 60$

Etapa 6.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 9 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 - 60$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.2.2.1

Escreva $- 27$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} - 60$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - 60$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} - 60$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $- 60$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{- 60}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{- 60}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 - 60 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 60 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $- 60$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 120}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.5.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 120}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $120$ de $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{147}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{3}{2}$ , a derivada é $- \frac{147}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 5)$ .

Decréscimo em $(- 2, 5)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(5, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 6 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 - 60$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique $6$ por ${(6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

$f' (6) = 6 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 - 60$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (6) = 6^{1 + 2} - 18 \cdot 6 - 60$

Etapa 7.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (6) = 6^{3} - 18 \cdot 6 - 60$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = 216 - 18 \cdot 6 - 60$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $6$ .

$f' (6) = 216 - 108 - 60$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $108$ de $216$ .

$f' (6) = 108 - 60$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $60$ de $108$ .

$f' (6) = 48$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 7.3

Em $x = 6$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(5, \infty)$ .

Acréscimo em $(5, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (5, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 5)$

Etapa 9