Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.9

Combine $6$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.11

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.12.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Etapa 6.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 9