Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Some $0$ e $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 4 x$ de $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.4142135$ na expressão.

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.4142135$ à potência de $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $8$ por $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Etapa 5.2.2

Subtraia $19.313708$ de $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $36.97055888$ .

$36.97055888$

Etapa 5.3

Em $x = - 2.4142135$ , a derivada é $36.97055888$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{2})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.4142135, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.70710675$ na expressão.

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.70710675$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $8$ por $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Etapa 6.2.2

Subtraia $5.656854$ de $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Etapa 6.3

Em $x = - 0.70710675$ , a derivada é $- 4.24264062$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1.4142135, 0)$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{2}, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.70710675$ na expressão.

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.70710675$ à potência de $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $8$ por $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Etapa 7.2.2

Some $- 1.41421337$ e $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $4.24264062$ .

$4.24264062$

Etapa 7.3

Em $x = 0.70710675$ , a derivada é $4.24264062$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \sqrt{2})$ .

Acréscimo em $(0, \sqrt{2})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.4142135$ na expressão.

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.4142135$ à potência de $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $8$ por $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Etapa 8.2.2

Some $- 56.28426688$ e $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Etapa 8.3

Em $x = 2.4142135$ , a derivada é $- 36.97055888$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\sqrt{2}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Decréscimo em: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Etapa 10