Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 1 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x - 1 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $10 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x - 1$ .

$10 x - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x - 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$10 x = 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $10 x = 1$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $10 x = 1$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{10}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10}$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 10 x - 1$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{10})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{9}{10}$ na expressão.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (- \frac{9}{10}) - 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{10}$ para o numerador.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{9}{10}) = - 9 - 1$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ de $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{10}) = - 10$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$- 10$

Etapa 5.3

Em $x = - \frac{9}{10}$ , a derivada é $- 10$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{1}{10})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{1}{10})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{10}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11}{10}$ na expressão.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{10}) = 11 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $11$ .

$f' (\frac{11}{10}) = 10$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{11}{10}$ , a derivada é $10$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{1}{10}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{10}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{1}{10}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{1}{10})$

Etapa 8