Cálculo Exemplos

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $- 20 x^{3} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 4 x$ de $- 20 x^{3} - 8 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 4 x$ de $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $5 x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $5 x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $5 x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} = - 2$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $5 x^{2} = - 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 x^{2} = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Etapa 2.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Etapa 2.5.2.4.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Etapa 2.5.2.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.5.2.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 2.5.2.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.2.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 2.5.2.4.5.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 2.5.2.4.5.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 2.5.2.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.2.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.5.2.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 2.5.2.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.5.2.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.4.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Etapa 2.5.2.4.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.5.2.4.7

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Etapa 5.2.2

Some $20$ e $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $28$ .

$28$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $28$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Etapa 6.2.2

Subtraia $8$ de $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 28$ .

$- 28$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 28$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0)$

Decréscimo em: $(0, \infty)$

Etapa 8