Cálculo Exemplos

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{54}{x}$ em relação a $x$ é $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 1.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Combine $- 54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Etapa 1.1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Etapa 1.1.5.2.3

Some $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{54}{x^{2}}$ para o numerador.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $54$ aos dois lados da equação.

$128 x^{3} = 54$

Etapa 2.4.2

Subtraia $54$ dos dois lados da equação.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $2$ de $128 x^{3} - 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Fatore $2$ de $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Etapa 2.4.3.1.2

Fatore $2$ de $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Etapa 2.4.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Etapa 2.4.3.3

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.5.1.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.5.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.5.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.5.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Etapa 2.4.3.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Etapa 2.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Etapa 2.4.5

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 2.4.5.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 2.4.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.4.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 2.4.6

Defina $16 x^{2} + 12 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Defina $16 x^{2} + 12 x + 9$ como igual a $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Etapa 2.4.6.2

Resolva $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.6.2.2

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 12$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.3

Subtraia $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.4

Reescreva $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7

Reescreva $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.7.1

Fatore $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.9

Mova $12$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.4.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.3

Subtraia $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.4

Reescreva $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.7

Reescreva $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.7.1

Fatore $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.7.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.9

Mova $12$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.4.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.4.6.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.3

Subtraia $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.4

Reescreva $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.7

Reescreva $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.7.1

Fatore $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.7.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.9

Mova $12$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.4.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.4.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.4.6.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{54}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $128$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Etapa 6.2.1.3

Divida $54$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Etapa 6.2.2

Subtraia $54$ de $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 182$ .

$- 182$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 182$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{3}{4})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.375$ na expressão.

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $128$ por $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $0.375$ à potência de $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Etapa 7.2.1.3

Divida $54$ por $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Etapa 7.2.2

Subtraia $384$ de $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 336$ .

$- 336$

Etapa 7.3

Em $x = 0.375$ , a derivada é $- 336$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{3}{4})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{3}{4})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3}{4}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.75$ na expressão.

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $128$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $1.75$ à potência de $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Etapa 8.2.1.3

Divida $54$ por $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Etapa 8.2.2

Subtraia $17.63265306$ de $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $206.36734693$ .

$206.36734693$

Etapa 8.3

Em $x = 1.75$ , a derivada é $206.36734693$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{3}{4}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Etapa 10