Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(2 x - 3)}^{2}$ como $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(2 x - 3) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.1.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 12 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.5

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.7

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.8

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.9

Some $8 x - 12$ e $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Etapa 1.1.5.11

Multiplique $4 x^{2} - 12 x + 9$ por $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.5

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.6

Some $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Etapa 1.1.6.2.7

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e cuja soma é $b = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 8$ como $- 2$ mais $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $3$ e $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Etapa 5.2.2.2

Some $15$ e $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 5.3

Em $x = - 0.5$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0.5, \frac{3}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $24$ de $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 12$ e $9$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Decréscimo em $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.5$ na expressão.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.5$ à potência de $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $60$ de $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Etapa 7.2.2.2

Some $15$ e $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 7.3

Em $x = 2.5$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{3}{2}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Decréscimo em: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Etapa 9