Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} + 7 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$24 x^{2} = - 7$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $24 x^{2} = - 7$ por $24$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $24 x^{2} = - 7$ por $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $- \frac{7}{24}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

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Etapa 2.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Etapa 2.5.1.2

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Etapa 2.5.1.3

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Etapa 2.5.1.4

Reorganize a fração $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Etapa 2.5.1.5

Reescreva $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Etapa 2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{6}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Etapa 2.5.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 2.5.5.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 2.5.5.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 2.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 2.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 2.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 2.5.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 2.5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.5.6.2

Multiplique $7$ por $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 2.5.7

Multiplique $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

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Etapa 2.5.7.1

Multiplique $\frac{i}{2}$ por $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Etapa 2.5.7.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $24$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Etapa 5.2.2

Some $24$ e $7$ .

$f' (1) = 31$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $31$ .

$31$

Etapa 6

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ é $31$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $24 x^{2} + 7 > 0$

Etapa 7

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

Sempre crescente

Etapa 8