Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - x^{2}}$ como ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.3

Mova ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.18

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.23

Multiplique ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.24

Para escrever ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26

Multiplique ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.27

Simplifique ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.29

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 8$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 8$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 8$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2, - 2$ .

$2, - 2$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{{(- x^{2} + 8)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{- x^{2} + 8} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- x^{2} + 8}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x^{2} + 8}$ como ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x^{2} + 8)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Simplifique.

$- x^{2} + 8 = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 8$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Etapa 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Etapa 4.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.3.3.4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{- x^{2} + 8}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- x^{2} + 8 < 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 8$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} > 8$

Etapa 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{8}$

Etapa 4.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{8}$

Etapa 4.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| x | > \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.5.4.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 2 | \sqrt{2}$

Etapa 4.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$| x | > 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5.5

Escreva $| x | > 2 \sqrt{2}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 4.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 4.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 4.5.6

Encontre a intersecção de $x > 2 \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$x > 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5.7

Divida cada termo em $- x > 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 4.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 4.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 4.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Etapa 4.5.7.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ como $- (2 \sqrt{2})$ .

$x < - (2 \sqrt{2})$

Etapa 4.5.7.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x < - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 2 \sqrt{2}$ ou $x > 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.828427$ na expressão.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 {(- 3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.828427$ à potência de $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $- 29.31370658$ e $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Eleve $- 3.828427$ à potência de $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 14.65685329$ e $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva $- 6.65685329$ como ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Etapa 6.2.3

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ pelo conjugado de $2.58008784 i$ para tornar o denominador real.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Etapa 6.2.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Combine.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Etapa 6.2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Adicione parênteses.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Etapa 6.2.4.2.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2.58008784$ por $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Etapa 6.2.6

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f' (- 3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Etapa 6.2.7

Fatore $21.31370658$ de $21.31370658 i$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Etapa 6.2.8

Fatore $2.58008784$ de $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Etapa 6.2.9

Separe as frações.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 6.2.10

Divida $21.31370658$ por $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Etapa 6.2.11

Divida $i$ por $1$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 i$

Etapa 6.2.12

A resposta final é $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Etapa 6.3

Em $x = - 3.828427$ , a derivada é $8.26084531 i$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ .

A função não é real em $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2.828427, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.4142135$ na expressão.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 {(- 2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2.4142135$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $- 11.65685364$ e $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Eleve $- 2.4142135$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 5.82842682$ e $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva $2.17157317$ como ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Etapa 7.2.2.6

Avalie o expoente.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Etapa 7.2.3

Divida $- 3.65685364$ por $1.47362586$ .

$f' (- 2.4142135) = - 2.48153465$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Etapa 7.3

Em $x = - 2.4142135$ , a derivada é $- 2.48153465$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2.828427, - 2)$ .

Decréscimo em $(- 2 \sqrt{2}, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 8}{{(- {(0)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.1.3

Some $0$ e $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $0$ e $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{8^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Mova $8^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $8$ por $8^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $8$ por $8^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1.1

Eleve $8$ à potência de $1$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (0) = 8^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (0) = 8^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (0) = 8^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 8.2.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (0) = 8^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $8^{\frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3

Em $x = 0$ , a derivada é $8^{\frac{1}{2}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, 2)$ .

Acréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(2, 2 \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2.4142135$ na expressão.

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 {(2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $2.4142135$ à potência de $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3

Some $- 11.65685364$ e $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Eleve $2.4142135$ à potência de $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $- 5.82842682$ e $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva $2.17157317$ como ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 9.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 9.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Etapa 9.2.2.6

Avalie o expoente.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Etapa 9.2.3

Divida $- 3.65685364$ por $1.47362586$ .

$f' (2.4142135) = - 2.48153465$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Etapa 9.3

Em $x = 2.4142135$ , a derivada é $- 2.48153465$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, 2 \sqrt{2})$ .

Decréscimo em $(2, 2 \sqrt{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(2 \sqrt{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $3.828427$ na expressão.

$f' (3.828427) = \frac{- 2 {(3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Eleve $3.828427$ à potência de $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.1.3

Some $- 29.31370658$ e $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $3.828427$ à potência de $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 14.65685329$ e $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva $- 6.65685329$ como ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 10.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 10.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Etapa 10.2.2.6

Simplifique.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Etapa 10.2.3

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ pelo conjugado de $2.58008784 i$ para tornar o denominador real.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Etapa 10.2.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.4.1

Combine.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Etapa 10.2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.4.2.1

Adicione parênteses.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 10.2.4.2.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 10.2.4.2.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Etapa 10.2.4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Etapa 10.2.4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Etapa 10.2.4.2.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Etapa 10.2.5

Multiplique $2.58008784$ por $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Etapa 10.2.6

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f' (3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Etapa 10.2.7

Fatore $21.31370658$ de $21.31370658 i$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Etapa 10.2.8

Fatore $2.58008784$ de $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Etapa 10.2.9

Separe as frações.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 10.2.10

Divida $21.31370658$ por $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Etapa 10.2.11

Divida $i$ por $1$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 i$

Etapa 10.2.12

A resposta final é $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Etapa 10.3

Em $x = 3.828427$ , a derivada é $8.26084531 i$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(2 \sqrt{2}, \infty)$ .

A função não é real em $(2 \sqrt{2}, \infty)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 2, 2)$

Decréscimo em: $(- 2 \sqrt{2}, - 2), (2, 2 \sqrt{2})$

Etapa 12