Cálculo Exemplos

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $19 x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19 x$ em relação a $x$ é $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $19$ por $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $19$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 19 x^{2} = - 1$ .

$- 19 x^{2} = - 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 19 x^{2} = - 1$ por $- 19$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 19 x^{2} = - 1$ por $- 19$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 19$ .

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Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Etapa 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

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Etapa 2.5.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{19}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Etapa 2.5.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Etapa 2.5.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{19}}$ por $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Etapa 2.5.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{19}}$ por $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Etapa 2.5.4.4.2

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Etapa 2.5.4.4.3

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 2.5.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Etapa 2.5.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.22941573$ na expressão.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.22941573$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Etapa 6.2.1.2

Divida $1$ por $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Etapa 6.2.2

Some $- 0.66161062$ e $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $18.33838937$ .

$18.33838937$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.22941573$ , a derivada é $18.33838937$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.22941573, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.11470786$ na expressão.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.11470786$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Etapa 7.2.1.2

Divida $1$ por $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Etapa 7.2.2

Some $- 76.00000256$ e $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Etapa 7.3

Em $x = - 0.11470786$ , a derivada é $- 57.00000256$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 0.22941573, 0)$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.11470786$ na expressão.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.11470786$ à potência de $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Etapa 8.2.1.2

Divida $1$ por $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Etapa 8.2.2

Some $- 76.00000256$ e $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Etapa 8.3

Em $x = 0.11470786$ , a derivada é $- 57.00000256$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.22941573$ na expressão.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $1.22941573$ à potência de $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Etapa 9.2.1.2

Divida $1$ por $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Etapa 9.2.2

Some $- 0.66161062$ e $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $18.33838937$ .

$18.33838937$

Etapa 9.3

Em $x = 1.22941573$ , a derivada é $18.33838937$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Etapa 11