Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $6 x^{2} + 6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 2$ .

$1, - 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

Etapa 5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $18$ de $54$ .

$f' (- 3) = 36 - 12$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $12$ de $36$ .

$f' (- 3) = 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.6.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.7

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.8.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

Etapa 6.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

Etapa 6.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.2.2.1

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $- 12$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.5.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $24$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{27}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 1)$ .

Decréscimo em $(- 2, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $24$ e $12$ .

$f' (2) = 36 - 12$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $12$ de $36$ .

$f' (2) = 24$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 1)$

Etapa 9