Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 9$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 3$ .

$0, 3$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $12$ de $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 16$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Etapa 6.2.1.8

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.8.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Etapa 6.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Etapa 6.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- 27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine $- 27$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $54$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{3}{2}$ , a derivada é $- \frac{27}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 3)$ .

Decréscimo em $(0, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Etapa 7.2.2

Subtraia $192$ de $256$ .

$f' (4) = 64$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $64$ .

$64$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $64$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(3, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Etapa 9