Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a integral em $0$ e escreva como uma soma de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Etapa 2.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 7

Combine $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $e^{u}$ em $1$ e em $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 8.2

Simplifique.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Etapa 9

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 9.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 9.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 9.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 9.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 9.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Etapa 9.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Etapa 9.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 10.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Etapa 13

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Etapa 14

Combine $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Avalie $e^{u}$ em $1 - t^{2}$ e em $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Etapa 15.2

Simplifique.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16

Avalie os limites.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.1.4

Avalie o limite de $e$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.2

Como o expoente $1 - t^{2}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{1 - t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Etapa 16.3.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Etapa 16.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Etapa 16.4

Como o expoente $1 - t^{2}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{1 - t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Etapa 16.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.1

Avalie o limite de $e$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Etapa 16.5.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.2.1.1

Subtraia $0$ de $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Etapa 16.5.2.1.2

Combine $e$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Etapa 16.5.2.1.3

Subtraia $e$ de $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Etapa 16.5.2.1.4

Multiplique $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Etapa 16.5.2.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Etapa 16.5.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Etapa 16.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- e + e}{2}$

Etapa 16.5.2.3

Some $- e$ e $e$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 16.5.2.4

Divida $0$ por $2$ .

$0$