Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 18 x + 24$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $4, 2$ .

$4, 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 24$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 \cdot 1 + 24$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 + 24$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $18$ de $3$ .

$f' (1) = - 15 + 24$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 15$ e $24$ .

$f' (1) = 9$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 5.3

Em $x = 1$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(2, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 24$

Etapa 6.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 24$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 24$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 24$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$f' (3) = - 27 + 24$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 27$ e $24$ .

$f' (3) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, 4)$ .

Decréscimo em $(2, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = 3 {(5)}^{2} - 18 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (5) = 3 \cdot 25 - 18 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $25$ .

$f' (5) = 75 - 18 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $5$ .

$f' (5) = 75 - 90 + 24$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $90$ de $75$ .

$f' (5) = - 15 + 24$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 15$ e $24$ .

$f' (5) = 9$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 7.3

Em $x = 5$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 2), (4, \infty)$

Decréscimo em: $(2, 4)$

Etapa 9