Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $3$ de $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2} - 4 x - 8$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Some $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.3

Some $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.3

Some $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.8.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.4641017$ na expressão.

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.4641017$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $18.21539156$ e $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $24$ de $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $23.78461196$ .

$23.78461196$

Etapa 5.3

Em $x = - 2.4641017$ , a derivada é $23.78461196$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2.00000015$ na expressão.

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2.00000015$ à potência de $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Etapa 6.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $24.0000018$ de $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $24$ de $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 36$ .

$- 36$

Etapa 6.3

Em $x = 2.00000015$ , a derivada é $- 36$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6.464102$ na expressão.

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6.464102$ à potência de $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $77.569224$ de $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $24$ de $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $23.78461999$ .

$23.78461999$

Etapa 7.3

Em $x = 6.464102$ , a derivada é $23.78461999$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Decréscimo em: $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Etapa 9